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如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,连接AC,BD交于点E.

泰宁新闻网 http://www.tainingxinwen.cn 2021-01-14 11:13 出处:网络
没你、地球照样转。|用户:悬赏100分的问题 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,连接AC,BD交于点E.,在四边形abcd中

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最佳答案:

题目:

如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,连接AC,BD交于点E.

(1)若BC=CD=2,M为线段AC上一点,且AM:CM=1:2,连接BM,求点C到BM的距离.
(2)证明:BC+CD=AC.

解答:

(1)∵AB=AD,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°.
∵BC=CD,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠BAC=∠DAC=30°,∠ACB=∠ACD=60°.
∴∠AEB=∠BEC=90°,∠ABC=90°,
∴CE=
1
2BC=1,BE=
3,AC=2BC=4.
∵AM:CM=1:2,
∴AM=
4
3,CM=
8
3,
∴EM=
5
3,在Rt△BEM中由勾股定理得
BM=
(
3)2+(
5
3)2  =
2
13
3.
过点C作CF⊥BM于点F.

BM.CF
2=
CM.BE
2.


2
13
3CF
2=

8

3
2,
∴CF=
4
39
13.
即点C到BM的距离
4
39
13.

(2)证明:延长BC到点F,使CF=CB,连接DF,
∵AB=AD,∠ABD=60°,

∴△ABD是等边三角形,
∴∠ADB=60°,AD=BD,
∴BC=CD,
∴CF=CD.
∵∠BCD=120°,
∴∠DCF=180°-∠BCD=60°,
∴△DCF是等边三角形,
∴∠CDF=∠ADB=60°,DC=DF,
∴∠ADC=∠BDF,
又∵AD=BD,
∴△ACD≌△BDF,
∴AC=BF=BC+CF,
即AC=BC+CD.

试题解析:

(1)由条件可以证明△ABC≌△ADC,可以得出∠BAC=∠DAC=30°,∠ACB=∠ACD=60°,∠AEB=90°,求出∠ABC=90°,由勾股定理可以求出AC=4,AB=23,由AM:CM=1:2可以求得AM、CM的值,在Rt△BEC中由勾股定理可以求出CE、BE的值,从而求出BM的值,过点C作CF⊥MB于F,利用三角形的面积相等建立等量关系就可以求出结论.
(2)(1)要证BC+DC=AC,延长BC到E,使CE=CD,则求AC=BE即可.由AB=AD,∠ABD=60°,得△ABD是等边三角形,进而得∠ADB=60°,AD=BD,又有,∠BCD=120°,则△DCE是等边三角形,所以得△ACD≌△BDE,则AC=BE=BC+CD.

名师点评:

本题考点: 等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
考点点评: 本题考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的运用.

本文标题:如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,连接AC,BD交于点E.
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